Albert Lothar Wiese, Sarajevo, 05/2013, http://struktron.de/
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In den Standardmodellen der Elementarteilchen und der Kosmologie, also der bewährten Standardphysik, werden Felder verwendet, welche sich durchaus auch als effektive Felder interpretierten lassen. Im einfachen Fall, dass ein einziges, unendlich oft vorkommendes, diskretes Objekt alle Felder erzeugt, bietet sich folgendes Axiom für weitere Untersuchungen an, was in einem so einfachen Gas geschehen kann:
AXIOM: Es existiert einzig und allein eine Menge unendlich vieler, sich im dreidimensionalen Raum bewegender diskreter Objekte, die hier als gleich große Kugeln beschrieben werden. Diese durchdringen den leeren Raum gleichförmig geradlinig. Eine Annäherung an eine andere Kugel erfolgt bis zum Zusammenstoß (Berührung), bei dem nur die Geschwindigkeitskomponenten in Richtung der Stoßachse (Berührungsnormale) ausgetauscht werden.
Damit lassen sich Formeln für die elementare hier betrachtete Wechselwirkung herleiten. Ortsveränderungen im Substrat diskreter Objekte werden vorläufig nicht betrachtet.
Eine räumliche
Dafür sind die Stoßtransformationen, also Bewegungsgleichungen zur Bestimmung der Geschwindigkeiten nach dem Stoß, erforderlich. Vektoren (3 Komponenten) werden hier (wie in Mathcad üblich) fett ohne Pfeil geschrieben.
Zuerst wird die Relativgeschwindigkeit der Stoßpartner bestimmt:
(1)
Die Richtung der Relativgeschwindigkeit wird mit der Kugelkoordinaten-Transformation ermittelt, für die hier die in Mathcad eingebaute Funktion verwendet wird:
(2)
(3)
Bei den Ergebnissen mit der ausführlichen Transformation gemäß dem Artikel über
Kugelkoordinaten
in Wikipedia,
Die Stoßachsenwinkel ergeben sich i.A. zufallsabhängig, wobei gleichwahrscheinliche parallele Bahnen zur Richtung der Relativgeschwindigkeit angenommen werden. Das ist auf gleichwahrscheinliche parallele Bahnen bei den Stoßpartnern zurückzuführen. Damit ergibt sich in kartesischen Koordinaten der Stoßachsenvektor:
(4)
Dieser wurde relativ zur Richtung der Relativgeschwindigkeit
(5)
(6)
Damit ergibt sich die Stoßachse im ursprünglichen Koordinatensystem durch das zweifache Zurückdrehen zu:
(7)
Dieses S entspricht beim Zentralstoß auf eine ruhende Kugel dem ursprünglichen
Beim Stoß werden nun die zur Stoßachse parallelen Geschwindigkeiten der beiden beteiligten Kugeln ausgetauscht. Das ist die elementare Wechselwirkung, welche durch das Axiom eingeführt wurde. Alle Vektoren sollen jedoch weiterhin im ursprünglichen Koordinatensystem betrachtet werden.
(8)
parallele Geschwindigkeiten
(9)
(10)
orthogonale Geschwindigkeiten
(11)
(12)
Geschwindigkeiten nach Stoß
(13)
Sind demnach die erforderlichen Stoßtransformationen
Bild1:
Zur Simulation von vielen Stößen wird ein interner
verwendet.
Es werden N Kugeln in einem Durchlauf des gesamten Dokuments berechnet:
ist dabei die Zahl der bei einem Durchlauf erzeugten Stoßgebilde (Bild 1).
(14)
Für
(15)
werden mit Zufallsgeneratoren zwei mal N Geschwindigkeitsbeträge generiert. Wegen der Erzeugung aus beliebigen Anfangsgeschwindigkeiten (stark gezackte Kurve) werden durch Thermalisierung [WI 09], also durch einfache Stöße im ebenfalls ortslos betrachteten Gas, immer mehr der Maxwell-Boltzmannschen Geschwindigkeitsverteilung angepasste (in Bild 2 durch deren Wahrscheinlichkeitsdichten mit immer weniger Zacken dargestellt) Wahrscheinlichkeitsdichten erzeugt. Deshalb kann diese zur Erzeugung von zufälligen Geschwindigkeitsbeträgen im gedachten homogenen isotropen Gas diskreter Objekte gemäß obigen Axiom verwendet werden.
Bild 2: Thermalisierung durch Stöße
Die zufälligen Geschwindigkeitsbeträge
(16)
ist die Zahl der bisherigen Durchläufe des Programms.
(17)
Ein Anfangswert nahe
könnte die Durchlaufszahl stark verringern.
(18)
Die eingelesenen Parameter des vorhergehenden Durchlaufs ergeben den Korrekturfaktor a für die Standardabweichung von u beim aktuellen Durchlauf. Die Idee zur Korrektur bei einem der beiden Stoßpartner entstand bei der Untersuchung vieler Stöße. Die Änderung der Geschwindigkeitsbeträge lag nahe am Wert der Feinstrukturkonstante. Wegen des Skalenverhaltens, wurden anfänglich mögliche Einflüsse vorheriger Stöße vernachlässigt. Einflüsse einer gleichartigen Umgebung, in der auch Stöße stattfinden, können aber nicht ausgeschlossen werden. Deshalb wurde versucht, die Wahrscheinlichkeitsdichte von u um gerade diesen kleinen Einfluss eines Durchschnittswertes von den vorhergehenden Durchläufen, hier also den d
(19)
(20)
(21)
Die Geschwindigkeitsbeträge werden mit Hilfe der Umkehrfunktion (root, entspricht der Inversionsmethode zur Erzeugung von Zufallszahlen) aus zufällig zwischen Null und Eins erzeugten Zahlen ermittelt. Alternativ ließen sich die alten us vom letzten Durchlauf als neue u verwenden, z.B. wenn Systeme (Elementarteilchen) simuliert werden sollen.
und
sind Werte zur Initiierung der Lösung.
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Zur Erzeugung von Werten, welche bei einem Durchlauf
Im ortslosen Gas ist der Vektorwinkel
Im Zusammenhang mit der Beschreibung des Spins von Elementarteilchen, welche die Feinstrukturkonstante erzeugen könnten, könnte auch hier eine Korrektur der sich ergebenden durchschnittlichen Änderungen durch die bei Stößen erfolgende Drehung der Relativgeschwindigkeiten erforderlich werden. Die Verteilungsfunktion für den Winkel
(28)
mit
z.B.
(29)
Damit ergibt sich als implizite Funktion für den Zufallsgenerator:
(30)
Zur Nullstellenbestimmung durchläuft die Lösungsmenge wieder alle Intervalle von i / N mit zufälligen Schwankungen innerhalb dieser.
(31)
Mit
zur Initialisierung
(32)
ergibt sich nun der gesuchte Zufallsgenenerator für den Flugwinkel im homogenen isotropen Medium zwischen zwei beliebig ausgewählten diskreten Objekten (Kugeln):
im Durchschnitt
(33)
(34)
Zusätzlich werden neue Stoßachsenwinkel generiert, bei denen
(35)
Mit den oben ermittelten Geschwindigkeitsbeträgen können nun die Vektoren der Probekugeln hingeschrieben werden:
z.B.:
(36)
(37)
Hier wird
(38)
(39)
Das Zurückdrehen der zufällig erzeugten Vektoren
(40)
Mit diesen ergibt sich durch die Drehung:
(41)
Damit ergeben sich nach dem Stoß die beiden Geschwindigkeitsvektoren.
Diese sind für weitere Untersuchungen im ursprünglichen Koordinatensystem ausgedrückt,
Aus der Beschreibung elementarer Ereignisse mit jeweils acht Parametern können wegen der Isotropie die vier Geschwindigkeitsbeträge (vor und nach den Stößen) die wesentlichen Änderungen zeigen (u rot, v grün). Sie können positiv oder negativ sein und auch bei sehr großen Zahlen im Durchschnitt noch einen von Null abweichenden Wert besitzen. Bei jedem solchen Stoß ergibt sich eine Drehung der Relativgeschwindigkeit der beiden Stoßpartner, deren Betrag erhalten bleibt (blau gestrichelt). Dieser kann ein axialer Vektor zugeordnet werden (Pseudovektor), was hier aber nicht weiter verfolgt wird. Die Geschwindigkeitsbeträge können wegen der Isotropie in einer beliebigen Richtung eingezeichnet werden (fein gestrichelt). Der interessierende Betrag der Differenz, welcher nach sehr vielen Stößen im Durchschnitt gegen die Feinstrukturkonstante strebt, kann ebenfalls eingezeichnet werden (blau).
Die Veränderung der Geschwindigkeitbeträge wird nun für jeden einzelnen Stoß errechnet:
(44)
Das sind positive oder negative Zahlenwerte ohne Richtungsangabe (isotrop). Aus diesen ergibt sich der Durchschnitt aller Änderungen der Geschwindigkeitsbeträge bei allen N Stößen zu:
(45)
Bild 3: Änderung der Geschwindigkeitsbeträge bei Stößen
Die durchschnittliche Geschwindigkeitsbetragsänderung wird wegen des Zusammenhangs mit
(46)
Die Wurzel aus
(47)
Zur Analyse der Daten werden diese erneut eingelesen
(48)
ist die Zahl der Durchläufe.
(49)
Die Parameter für die Grafik werden aus den entsprechenden Stellen der eingelesenen Datei summiert:
(50)
(51)
und dessen letzter ist
(52)
Als Vergleichswert dient die Feinstrukturkonstante:
(53)
Mit den Endwerten:
Stöße ergibt sich folgende Entwicklung
welche den nachvollziehbaren Beweis einer wichtigen Entdeckung darstellen könnten (download dieses Mathcad-Arbeitsblattes auf Windows PC von
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und Nachrechnen durch
Bild 4: Entwicklung der Geschwindigkeitsbetragsdifferenzen im Vergleich zur Feinstrukturkonstante
Im Bild werden die Ergebnisse von
Haupterkenntnis dieser Simulationen ist, dass bei jedem Stoß, also auch im Vakuum, im Durchschnitt Abweichungen von den ursprünglichen Geschwindigkeitsbeträgen erzeugt werden (siehe (45)). Diese erreichen mit dem einfachen Quotienten 4
Auch die "Kopplungskonstante" der starken Wechselwirkung wäre damit erklärbar, obwohl diese vielleicht durch den Einfluss der freien Weglängen unnötig wird.
Damit wird die Existenz eines Substrates im Vakuum, welches mit der angenommenen einfachen Wechselwirkung beschrieben werden kann, offensichtlich.
Der Einfluss der Zufallszahlenerzeugung ist unklar und führt trotz großer Stoßzahlen noch zu kleinen Schwankungen. Von Nutzen für die Beurteilung dieser Entdeckung wäre vor allem der Versuch, die Ergebnisse mit anderen Computer Algebra Systemen nachzuvollziehen. Vielleicht auch mit analytischen Methoden. Zur Lösung eines achtfachen Integrals über alle zulässigen Werte der Stoßtransformationen existiert noch keine Idee. Offen bleibt bisher aber die Frage, wie die mit der Feinstrukturkonstante verbundene Elementarladung, die ja schon hier einen festen gequantelten Wert erhält, mit ebenfalls festen Energieportionen verbunden werden kann, welche beispielsweise ein Elektron oder ein Positron beschreiben. Das geht vermutlich nur in einer Theorie unter Berücksichtung von Raum und Zeit.
[Br 07] Brendel, L.; ohne Titel (Stoßwahrscheinlichkeiten im Harte Kugeln Gas); unveröffentlichtes
[Wi 05] Wiese, A.L.; Zufällige Stöße; 2005;
[Wi 09] Wiese, A.L.; Thermalisierung;
[Wi 10] Wiese, A.L.; Einfache diskrete Objekte zur Erweiterung des Standardmodells,
[Wi 12] Wiese, A.L.; Feinstrukturkonstante;
[He 11] Hedrich, Reiner; Raumzeitkonzeptionen in der Quantengravitation (Spacetime in Quantum
[Se 05] Selvam, A.M.; A General Systems Theoriy for Chaos, Quantum Mechaniks and Gravity for
nur für die Auswertung und Durchlaufsteuerung